Materiał

Tytuł

Zastosowanie pochodnej do badania przebiegu zmienności funkcji

Treść

W niniejszym materiale przybliżymy zastosowanie pochodnej do analizy przebiegu zmienności funkcji, co jest kluczowym elementem matematyki na poziomie maturalnym rozszerzonym. Analiza ta obejmuje określenie przedziałów monotoniczności, ekstremów oraz punktów przegięcia funkcji.

Przykładowa funkcja do analizy: 'f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1'

Krok 1: Oblicz pierwszą pochodną funkcji. Pochodna 'f'(x) = 3x^2 - 12x + 9'.

Krok 2: Rozwiąż równanie 'f'(x) = 0' w celu znalezienia potencjalnych punktów ekstremum. Rozwiązujemy równanie kwadratowe, otrzymując 'x = 1' i 'x = 3'.

Krok 3: Ustal monotoniczność funkcji analizując znak pochodnej w przedziałach podzielonych przez punkty stacjonarne. Dla 'x < 1' oraz 'x > 3', pochodna jest dodatnia (funkcja rosnąca), a dla '1 < x < 3', pochodna jest ujemna (funkcja malejąca).

Krok 4: Oblicz drugą pochodną 'f''(x) = 6x - 12' i ustal przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia. Rozwiązując 'f''(x) = 0', znajdujemy 'x = 2' jako punkt przegięcia.

Krok 5: Zinterpretuj wyniki w kontekście wykresu funkcji. Funkcja ma minimum lokalne w 'x = 3' i maksimum lokalne w 'x = 1'. W punkcie 'x = 2' występuje przegięcie, a wykres funkcji zmienia wypukłość na wklęsłość.

Krótki opis materiału

W tym materiale zaprezentowano metodę analizy przebiegu zmienności funkcji za pomocą pochodnej. Technika ta pozwala nie tylko na określenie ekstremów i monotoniczności funkcji, ale także na zrozumienie punktów przegięcia i ogólnej formy wykresu funkcji. Jest to niezwykle wartościowa umiejętność w kontekście rozwiązywania zadań maturalnych z matematyki na poziomie rozszerzonym.

Materiał

Tytuł

Zastosowanie pochodnej do badania przebiegu zmienności funkcji

Treść

Krótki opis materiału

Szczegóły

Poziom materiału

Matura rozszerzona

Dział materiału

Załączone pliki

Data dodania

05/05/2024

Ostatnia aktualizacja

05/05/2024